Ik merk dat ik een aantal vragen heb over deze thread. 
Om te beginnen: Het lijkt erop dat je Ziggo-klant bent, maar je zit op het forum van een andere internetprovider (Tweak). Was je bedoeling om dit op Gathering of Tweakers te vragen, of mis ik gewoon iets?
Verder: Tot in hoeverre ben je thuis in (computer)netwerken? Het lijkt er namelijk op dat je relatief veel redelijk willekeurige hardware op elkaar aansluit, merkt dat er aan de ene kant wel advertenties zijn, en er aan de andere kant geen internetverbinding is (op een bepaald deel van je netwerk?), verder gaan je vragen gaan dan alleen over DHCP en het toewijzen van IP-adressen. Misschien is dit goed om te weten, zodat mensen adequater kunnen antwoorden.
In algemene zin:
DHCP is een protocol dat in een netwerk(segment) IP-adressen uitdeelt en andere informatie verspreidt (zoals opties voor DNS-servers, de standaard gateway om te gebruiken, etc.). Je wil per netwerk(segment) maar één “ding” dat deze taak op zich neemt.
Zoals al is gezegd, de DHCP-server hoeft dus niet zelf ook de standaard gateway te zijn, hoewel dat vaak het geval is. Het is dus gewoon OK dat je je Raspberry Pi als DHCP-server gebruikt. En het is ook OK dat dat door Pi-hole wordt gedaan, hoewel de belangrijkste taak van Pi-hole is om een DNS-server te zijn die op dat niveau dan bronnen van advertenties onbeschikbaar maakt. (Optioneel kun je je Ziggo Connectbox laten DHCP-serven, en het IP-adres van je Raspberry Pi als DNS-server-optie laten meesturen. Of zelfs handmatig op apparaten je Raspberry Pi als DNS-server instellen.)
Echter, dit staat eigenlijk redelijk los van de problemen die je noemt.
M.b.t. je problemen:
Waarschijnlijk is de reden dat je wel advertenties ziet omdat het apparaat in kwestie (of de app in kwestie) een andere DNS-server gebruikt, en dus niet je Raspberry Pi, of Pi-Hole filtert deze bron toevallig niet.
Waarschijnlijk is de reden dat je geen internettoegang hebt op een deel van je netwerk, omdat je routers achter routers plaatst, die op hun beurt niet goed zijn geconfigureerd of aangesloten (wellicht dat je ze aansluit via hun WAN-poort, een poort die niet is geswitcht met de andere poorten, maar wel DHCP en NAT uitzet op die router?).
Met de beschikbare informatie blijft het echter gokken, en denk ik dat je vooral even wat dingen iets meer in kaart moet brengen op netwerkniveau (in plaats van ze gewoon aansluiten zoals het goed lijkt).
